• Metody:
  • Metoda Newtona
  • Metoda Bisekcji
  • Metoda Falsi

Metoda Newtona (zwana metodą Stycznych)

Please download Java(tm).

gdzie rozwiązaniem równania f(x)=0 w przedziale [a,b] jest przybliżony ciąg miejsc zerowych stycznych do funkcji F(x).

Założenia jakie muszą być spełnione:

1. W przedziale izolacji [a,b], w którym położony jest pierwiastek, funkcja f(x)=f(a)xF(b)<0 - posiada przeciwne znaki na krańcach przedziału.
2. Pierwsza i druga pochodna mają stały znak.


A tym samym spełnione są twierdzenia:

Twierdzenie 1. (Bolzano – Cauchy’ego)
Jeżeli funkcja F(x) jest ciągła w przedziale domkniętym [a,b] i F(a)⋅F(b) < 0, to między punktami a i b znajduje się co najmniej jeden pierwiastek równania F(x) = 0.

Twierdzenie 2.
Jeśli w przedziale [a, b] spełnione są założenia twierdzenia i dodatkowo sgn F ′(x) = const dla x∈[a,b], to przedział ten jest przedziałem izolacji pierwiastka równania F(x) = 0

Opis:

W tej metodzie rysujemy styczną do wykresu funkcji y=f(x) poprowadzoną z punktu, w którym funkcja f(x) z przedziału <a,b> ma ten sam znak co jej druga pochodna f''(x), oraz punkt x(1) przyjmujemy za pierwsze przybliżenie.
F(x1)musi mieć ten sam znak co (x1)
Jeżeli przybliżenie jest dla nas za mało dokładne to z punktu o współrzędnych (x1),f(x1) prowadzimy następną styczną, oraz przyjmujemy x2 jako drugie przybliżenie pierwiastka.

Metoda Newtona dla funkcji f(x)=0 (kolejne przybliżenia)

Wpisz funkcje f(x):
Wpisz pochodnąf'(x):
Wpisz wartość początkową x:
Punkt początkowy do wyświetlenia:
Punkt końcowy do wyświetlenia:

***Aby powyższy aplet działał poprawnie należy używać funkcji typu pow(x,y) -oznacza x do potęgi y, sin(x) itd.

Przykład:
Dla funkcji i przedziału izolacji. Obliczyć metodą stycznych pierwiastek równania F(x) = 0 z dokładnością ε.
F(x)=x3 −3x2 −2x+5 [a,b]=[1,2] ε = 0.1
F′(x)=3x2 −6x−2
F′′(x)=6x−6
Mamy:

Kliknij i narysuj wybrany wykres, oraz znajdź jego pierwiastek: