Metoda Bisekcji (zwana metodą połowienia lub metodą podziału).



Anfy preview
Please download Java(tm).

This site is Anfy Enhanced

Założenia jakie muszą być spełnione:

1. W przedziale izolacji [a,b], w którym położony jest pierwiastek, funkcja f(x)=f(a)xF(b)<0 - posiada przeciwne znaki na krańcach przedziału.
2. Funkcja jest ciągła na przedziale [a,b], wewnątrz którego znajduje się co najmniej jeden pierwiastek.


A tym samym spełnione są twierdzenia:

Twierdzenie 1. (Bolzano – Cauchy’ego)
Jeżeli funkcja F(x) jest ciągła w przedziale domkniętym [a,b] i F(a)
F(b) < 0, to między punktami a i b znajduje się co najmniej jeden pierwiastek równania F(x) = 0.

Twierdzenie 2.
Jeśli w przedziale [a, b] spełnione są założenia twierdzenia i dodatkowo sgn F ′(x) = const dla x
[a,b], to przedział ten jest przedziałem izolacji pierwiastka równania F(x) = 0

Opis:

Metoda polega na znalezieniu przybliżonego pierwiastka. Aby go znaleźć musimy podzielić przedział na dwie części, przez wyliczenie x(1)=(a+b)/2 .
Jeżeli f(x1)=0 to x1 jest szukanym pierwiastkiem, jeśli natomiast f(x1)<>0 to powstają nam dwa przedziały [a,x1] i [x1,b] , z których wybieramy ten mający przeciwne znaki na krańcach.
Wybrany przedział znów dzielimy na dwa, a następnie badamy otrzymaną funkcję f(x2).
Robiąc kolejne iteracje tych operacji w wyniku otrzymujemy pierwiastek funkcji f(xn)=0

Metoda bisekcji dla funkcji f(x) = 0

Wprowadź funkcję f(x):
Początek przedziału:
Koniec przedziału:
Punkt początkowy do wyświetlenia:
Punkt końcowy do wyświetlenia:

***Aby powyższy aplet działał poprawnie należy używać funkcji typu pow(x,y) -oznacza x do potęgi y, sin(x) itd.

Przykład:
Dla funkcji i przedziału izolacji.Oblicz metodą bisekcji pierwiastek równania F(x) = 0 z dokładnością ε.

Pasted Graphic

z2

z3
z4z5